Materi SBMPTN Matematika Logika

Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran

Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat ditentukan salah atau benar, tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh:
1. Tambun berada di Kabupaten Bekasi (Benar)
2. 9 adalah bilangan prima (Salah)
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel atau peubah dan belum dapat ditentukan kebenarannya. Jika variabel tersebut diganti dengan konstanta maka akan menjadi pernyataan.
Contoh:
1. 3x _ 9 = 12
2. x + 5 = 19
Negasi atau ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai pernyataan semula. Negasi dinotasikan dengan “ ~ ”.
Contoh:
a. Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka ~ p : 6 ≤ 2 (S)
b. Hari ini hujan. Negasinya: Hari ini tidak hujan

Operasi Logika Matematika

a. Konjungsi
Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung ‘‘dan’’. Konjungsi dari pernyataan p dan q dilambangkan p ∧ q . Dua pernyataan p ∧ q bernilai benar hanya jika pernyataan p benar dan q juga benar.
Tabel kebenarannya:

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

b. Disjungsi
Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung ‘‘atau’’. Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan p ∨ q. Dua pernyataan p ∨ q bernilai salah hanya jika pernyataan p salah dan q juga salah.
Tabel kebenarannya:

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

c. Implikasi
Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata ‘‘jika...maka...’’. Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p → q. Dua pernyataan p q → bernilai salah hanya jika pernyataan p benar dan q salah.
Tabel kebenarannya:

p	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

d. Biimplikasi
Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata penghubung “jika dan hanya jika”. Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p ↔ q. Dua pernyataan p ↔ q bernilai salah hanya jika kedua pernyataan bernilai sama.
Tabel kebenarannya:

p	q	p ↔ q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Pernyataan Majemuk

a. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen ( ≡ ) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh:
p → q ≡ ~p ∨ q
Dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran, yaitu:

p	q	~p	~p ∨ q	p → q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

b. Negasi Pernyataan Majemuk

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
~(p→q) ≡ ~ (~p ∨ q) ≡ p ∧ ~q
∃≡∀⇔ ∀≡∃

Simbol: ∀ dibaca “untuk setiap/semua”
Simbol: ∃ dibaca “sebagian/ada beberapa”

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika implikasi p → q maka:

q → p disebut konvers dari p → q
~p → ~q disebut invers dari p → q
~q → ~p disebut kontraposisi dari p → q

Penarikan Kesimpulan

a. Prinsip Modus Ponens
Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 : p = benar
–––––––––––––––––––––
Kesimpulan : q = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya makan maka saya kenyang.
Premis 2 : Saya makan.
Kesimpulan : Saya kenyang.

b. Prinsip Modus Tollens
Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 : ~q = benar
–––––––––––––––––––––
Kesimpulan : ~p = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus.
Premis 2 : Nilai saya buruk.
Kesimpulan : Saya malas belajar.

c. Prinsip Silogisme
Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
Premis 2 : q → r = benar
–––––––––––––––––––––
Kesimpulan : p → r = benar
Contoh:
Premis 1 : Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus.
Premis 2 : Jika nilai saya bagus maka saya naik kelas.
Kesimpulan : Jika saya rajin belajar maka saya akan naik kelas.