Materi SBMPTN Matematika Trigonometri

Perbandingan Trigonometri

a. Perbandingan Sisi Suatu Segitiga Siku-siku

• sin α = y/r , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "DEMI" → Depan / Miring
• cos α= x/r , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "SAMI"→ Samping / Miring
• tan α = y/x , Untuk menghafalnya dihafalkan dengan kata "DESA"→ Depan/ Samping
• cotan α = x/y,
• sec α = r/x,
• cosec α = r/y.

b. Nilai Perbandingan Sudut-sudut Istimewa

x	0	30	37	45	53	60	90
sin	0	1/2	3/5	1/2 √2	4/5	1/2 √3	1
cos	1	1/2 √3	4/5	1/2 √2	3/5	1/2	0
tan	0	1/3 √3	3/4	1	4/3	√3	∞

Keterangan: ∞ = tidak terdefinisi (tak berhingga)

Rumus Sudut yang Berelasi

Pada tiap kuadran, nilai sin, cos, dan tan dapat bernilai positif atau negatif. Tabel di bawah ini menunjukkan tanda di setiap kuadran.

Fungsi	Kuadran I 0°-90°	Kuadran II 90°-180°	Kuadran III 180°-270°	Kuadran IV 270°-360°
sin	+	+	-	-
cos	+	-	-	+
tan	+	-	+	-

Hubungan dari sin, cos, dan tan pada masing-masing kuadran adalah:
a. Pada Kuadran I (0°-90°)
sin (90° – α ) = cos α
cos (90° – α ) = sin α
tan (90° – α ) = cotan α
b. Pada Kuadran II (90°-180°)
sin (180° – α ) = sin α
cos (180° – α ) = -cos α
tan (180° – α ) = -tan α
c. Pada Kuadran III (180°-270°)
sin (180° + α ) = -sin α
cos (180° + α ) = -cos α
tan (180° + α ) = tan α
d. Pada Kuadran IV (270°-360°)
sin (360° – α ) = -sin α
cos (360° – α ) = cos α
tan (360° – α ) = -tan α

Rumus-Rumus Segitiga

Dalam Trigonometri
a. Hubungan Sin, Cos, dan Tan
1. sinx / cosx = tan x
2. sin²x + cos²x = 1

3. tan²x + 1 = sec²x

b. Pada Setiap Segitiga Sembarang Berlaku

1. Aturan sinus,
a/sinA = b/sinB = c/sinC

2. Aturan kosinus,

a² = b²+ c²-2 b c cosA
b² =a² + c²-2 a c cosB
c² =a² + b²-2 a b cosC

3. Luas segitiga ABC,
1/2 a b sinC = 1/2 b c sinA = 1/2 a c sinB

Rumus-Rumus Trigonometri

a. Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin (A + B) = sin A cos B + cosA sinB
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
tan (A + B) = (tanA + tanB)/ 1 - tanA tanB
tan (A – B) = (tanA - tanB)/1 + tanA tanB

b. Sudut Rangkap atau Kembar

sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos²A – sin²A
= 2 cos²A – 1
= 1 – 2 sin²A
tan 2A = (2 tanA)/1- tan²A

c. Perkalian Sinus dan Kosinus

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
–2 sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B)

d. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

sin A + sin B = 2 sin 1/2(A+B) cos 1/2(A-B)
sin A - sin B = 2 cos 1/2(A+B) sin 1/2(A-B)
cos A + cos B = 2 cos 1/2(A+B) cos 1/2(A-B)
cos A - cos B = -2 sin 1/2(A+B) sin 1/2(A-B)

Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

a. Persamaan Trigonometri
1. Persamaan dasar
sin x = sin a → x = a + k . 2π
→ x = 180 - a + k . 2π
cos x = cos a → x = a + k . 2π
→ x = -a + k . 2π
tan x = tan a → x = a + k . π

2. Persamaan yang diselesaikan dengan faktorisasi
Contoh:
sin 2x + cos x = 0
2 sin x cos x + cos x = 0
cos x (2 sin x + 1) = 0
cos x = 0 atau 2 sin x + 1 = 0
2 sin x = -1
sin x = -1/2

3. Persamaan yang dapat diubah ke bentuk persamaan kuadrat
Contoh:

cos² x + 3cos x − 4 = 0

Misalkan, cos x = p maka persamaan di atas menjadi:

p² + 3p – 4 = 0

Kemudian selesaikan seperti penyelesaian persamaan kuadrat.

b. Pertidaksamaan Trigonometri
Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan:
a. Menggambar grafiknya.
b. Menggunakan garis bilangan seperti pertidaksamaan biasa.
c. Untuk soal-soal pilihan ganda bisa dilakukan cara uji pilihan ganda.